Puissance de matrice exemple

Cet exemple peut être développé pour montrer que, si A est une matrice n × n {displaystyle ntimes n} avec des entrées dans un champ F, Then A B = B A {displaystyle mathbf {A} mathbf {B} = mathbf {B} mathbf {A}} pour chaque n × n {displaystyle ntimes n} Matrix B avec les entrées dans F , si et seulement si A = c I {displaystyle mathbf {A} = c , mathbf {I}} où c 2 F {displaystyle cin F}, et I est la matrice d`identité n × n {displaystyle ntimes n}. Un cas facile pour l`exponentiation est celui d`une matrice diagonale. La plus grande limite inférieure connue pour la complexité de la matrice-multiplication est Ω (N2 log (n)), pour un type restreint de circuits arithmétiques, et est due RAN raz. Les produits de matrices de calcul sont une opération centrale dans toutes les applications computationnelles de l`algèbre linéaire. Cet anneau est aussi une R-algèbre associative. La plus grande limite inférieure pour l`exposant de l`algorithme de multiplication de matrices est généralement appelée ω {displaystyle omega}. Vous pouvez utiliser le théorème de Cayley-Hamilton qui stipule que chaque matrice remplit son polynôme caractéristique. Toutefois, les vecteurs propres sont généralement différents si A B ≠ B A. Ensuite, utilisez la formule 2 ^ B = V * 2 ^ D/V pour calculer la puissance.

L`entrée i, j de la matrice A est indiquée par (A) IJ, AIJ ou AIJ, alors qu`une étiquette numérique (et non des entrées matricielles) sur une collection de matrices n`est indicée que, e. Ces coordonnées sont généralement organisées comme une matrice de colonne (également appelée vecteur de colonne), qui est une matrice avec une seule colonne. Historiquement, la multiplication matricielle a été introduite pour simplifier et clarifier les calculs en algèbre linéaire. Sa complexité computationnelle est O (n 3) {displaystyle O (n ^ {3})} (pour les matrices n × n) pour l`algorithme de base (cette complexité est O (n 2. Par conséquent, la formule est vraie pour tout entier positif $n $ par induction. Sinon, il s`agit d`une matrice singulière. Cette complexité non linéaire signifie que le produit matriciel est souvent la partie critique de nombreux algorithmes. Lorsque R est commutative et, en particulier, lorsqu`il s`agit d`un champ, le déterminant d`un produit est le produit des déterminants. Cette approche est très utile si vous voulez quelques valeurs pour $A ^ k $ avec $k $ grand. Le terme «multiplication matricielle» est le plus souvent réservé à la définition donnée dans cet article.

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